Artikel

Sifat-Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Teorema 7  (Sifat Archimedes)

Jika x anggota bilangan Real, maka terdapat nx anggota Bilangan Asli sedemikian sehingga x < nx.

Bukti

Jika kesimpulan salah maka x adalah batas atas dari bilangan Asli, oleh karena itu dengan menggunakan sifat suprimum, himpunan bilangan Asli tak kosong  mempunyai suprimum  anggota bilangan Real.  Karena u – 1 < u, maka dengan  lemma Suprimum  terdapat bilangan m anggota bilangan Asli sedemikian sehingga u – 1 < m. Tetapi u < m + 1 dan m +1 anggota bilangan Asli. Ini bertentangan dengan asumsi bahwa u adalah batas atas dari bilangan Asli.

 

Akibat 8

Misalkan y dan z adalah bilangan real positif murni maka

  1. Terdapat n anggota bilangan Asli sehingga z < ny
  2. Terdapat n anggota bilangan Asli sehingga 0 < 1/n < y
  3. Terdapat n anggota bilangan Asli sehingga n – 1 ≤ y < n

Bukti

a.      Karena x = z/y > 0 maka terdapat n anggota bilangan Asli, sedemikian sehingga z/y = x < n sehingga z < ny

b.      Ambil z = 1, berdasarkan (a) dan akan memberikan 1 < ny yang mengakibatkan 1/n < y.

c.      Sifat Archimedes menjamin bahwa subset {m anggota bilangan Asli: y < m} dari  bilangan Asli tak kosong. Misalkan n bilangan terkecil dari himpunan ini, maka n – 1 bukan anggota himpunan ini, sehingga n – 1 < y < n

 

Teorema  10 (Kepadatan)

Jika x dan y adalah bilangan real dengan x < y maka terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga  x < r < y.

 Bukti

Asumsi bahwa x > 0 (karena jika x < 0 maka terdapat 0 yang bilangan rasional, jika x < 0 dan y < 0 sama kasusnya dengan x > 0 dan y >0)

Dengan sifat Archimedes Teorema 7, terdapat n

 

Teorema  10 (Kepadatan)

Jika x dan y adalah bilangan real dengan x < y maka terdapat bilangan rasional r sedemikian sehingga  x < r < y.

 Bukti

Asumsi bahwa x > 0 (karena jika x < 0 maka terdapat 0 yang bilangan rasional, jika x < 0 dan y < 0 sama kasusnya dengan x > 0 dan y >0)

Dengan sifat Archimedes Teorema 7, terdapat n anggota bilangan Asli sedemikian sehingga n > 1/(y – x). jadi untuk n tersebut,kita punyai ny – nx > 1. Dengan menerapkan akibat 8.c untuk nx > 0, kita dapatkan m anggota bilangan asli sedemikian sehingga m – 1 ≤ m. m ini juga memenuhi m < ny, karena m < nx +1 < ny. Jadi kita punyai nx < m < ny sehingga untuk r = m/n yang merupakan bilangan rasional yang memenuhi x < r < y.

 

Teorema 11

Jika z > 0 adalah bilangan irrasional maka terdapat bilangan rasional sehingga  x < z < y.

Bukti

Berdasarkan Teorema 10 (kepadatan) untuk bilangan real x/akar(2)  dan y/akar(2)  dan bilangan rasional r ≠ 0 sedemikian sehingga x/akar(2)  < ry/akar(2)  maka z = r akar(2) adalah irrasional. Andaikan r rasional maka akan sampai pada kesimpulan  rasional dan ini kontradiksi sehingga terpenuhi x < z < y.

 

 

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s